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中考拓展:“扩大、扩大了、扩大到(增加、增加了、增加到)”意思有什么区别?

在人教版小学四年级下册数学教材“小数点的移动”一部分的练习题目中出现了“扩大、扩大了、扩大到”这几个术语,把同学们搞得一头雾水,加上不同教辅资料答案标准的不统一,让老师们也不知所措、如何讲解。那到底该如何界定它们之间的含义呢?


  一、从语法含义及数学教学的连贯性来看(主要是联系初中数学)

  1.扩大与扩大了是同一意思,都表示在原来的基础上多了多少。

  例:

  ①把2扩大5倍为2+2×5。

  ②把2扩大了5倍也是2+2×5。

  2.扩大到则不同,表示现在达到了(或现在是)多少。

  例1:把2扩大到5倍为2×5。

  例2:0.256变成25.6是“扩大到原数的100倍,也可以说扩大了99倍”。

  例3:25.6变成0.256是“缩小到原数的1/100,或缩小了99倍” 。

  二、驳斥“扩大、扩大了、扩大到”系同一含义的观点 “扩大”的含义到底是“扩大到”还是“扩大了”呢?

  ㈠ 认为“把a扩大n倍为na”,即把“扩大”理解为“扩大到”的谬误。

  众所周知在数学上,只要举一个反例就可以论证一个假命题。若“把a扩大n倍为na”,则把2扩大1倍为2×1=2,没有扩大;把2扩大0.1倍为2×0.1=0.2,反而缩小了。这违背了《词典》中对“扩大”一词的解析,所以“把a扩大n倍为na”是错误的。

  ㈡ 确定“把a扩大n倍为(n+1)a”,即把“扩大”理解为“扩大了”的合理性。

  1.“把a扩大n倍为(n+1)a”的规定,符合《词典》中“扩大”一词的本意。如把2扩大1倍为2+2×1=2×(1+1)=4;把2扩大0.1倍为2+2×0.1=2×(1+0.1)=2.1,扩大后必须要增加,否则就违背了三岁儿童都懂的常理。

  2.“把a扩大n倍为(n+1)a”的规定与教材中大多数的表述没有矛盾。

  例1:小学数学教材在总结商不变的规律时说:“在除法里,被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数,商不变”。

  当被除数a和除数b同时扩大了n倍时,(n+1)a÷(n+1)b=a÷b,商不变。

  例2:小学数学教材在总结积的变化规律时说:“一个因数不变,另一个因数扩大(或缩小)若干倍,积也扩大(或缩小)相同的倍数”。

  设ab=c,当a扩大n倍,b不变时。

  (n+1)ab=(n+1)c,积扩大到(n+1)倍,(n+1)c–c=nc,积扩大了n倍“相同的倍数”。

  例3:若汽车的时速一定,路程扩大5倍,则所用的时间扩大几倍?

  设时速为v,原路程为s,则原所用的时间为t=s÷v。现所用的时间=6s÷v=6t,扩大到6倍,6t–t=5t,即所用的时间扩大了5倍。

  三、为什么仍有很多人,很多教辅资料都认为“扩大几倍就是用几乘”?

  因为那都是受老教材的影响,是旧教材的产物,现在已经“废除、更正”,在人民教育出版社《答辩状》中有句话:“如从数a到na或从na到a的变化(n大于1),用扩大n倍或缩小n倍来表示;扩大n倍就是乘上n,缩小n倍就是除以n”。

  这些一直沿用了多年的“知识点”已经引起不少专家学者的质疑,也期待大家一起来分析和交流。

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